不定积分∫39x³/√59-30x²的计算步骤

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本文根据分部积分法、三角换元法以及凑分法等方法，介绍不定积分I=∫39x³/√59-30x²dx的计算步骤。

方法/步骤

1/1分步阅读

介绍通过分部积分法、三角换元法以及凑分法等方法，计算不定积分的详细过程与步骤。

[图]

变形凑分计算法

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解法一：思路：根据分子分母的关系，直接变形化简使用凑分法求得：

I=-∫(13/10)[x(59-30x^2)-59x]dx/√(59-30x^2)

=-(13/10)∫x(59-30x^2)dx/√(59-30x^2)+ (767/10)∫xdx/√(59-30x^2)

=-(13/10)∫x√(59-30x^2)dx-(2301/2)*1/30^2∫d(59-30x^2)/√(59-30x^2)

=-39*1/30^2∫√(59-30x^2)d(59-30x^2)- 2301*1/30^2√(59-30x^2)

=26*1/30^2√(59-30x^2)^3-2301 *1/30^2*√(59-30x^2)+c

2/2[图]

分部积分计算法

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解法二：思路：利用不定积分的分部积分方法求得：

I=39∫x^2*xdx/√(59-30x^2)

=-(13/20)∫x^2d(59-30x^2)/√(59-30x^2)

=-(13/20)∫x^2d√(59-30x^2)=-(13/20)x^2√(59-30x^2)+(13/20) ∫√(59-30x^2)dx^2

=-(13/20)x^2√(59-30x^2)-(39/2)*1/30^2∫√(59-30x^2)d(59-30x^2)

=-(13/20)x^2√(59-30x^2)-13*1/30^2√(59-30x^2)^3+c

2/2[图]

三角函数换元法

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解法三：

思路：利用三角函数的代换关系，进行三角换元积分求得。

设x=√(59/30)sint，则cost=(1/√59)√(59-30x^2),此时：

I=(2301/30)*√(59/30)∫sin^3td[√(59/30)sint]/√(59-59sin^2t),

=39*(59/30)^2∫sin^3tcostdt/√59*cost,

=(2301√59 /30^2)∫sin^3tdt,

[图]2/2

=(2301√59 /30^2)∫sint(1-cos^2 t)dt

=(2301√59 /30^2)∫sintdt-(2301√59 /30^2)∫sintcos^2 tdt

=-(2301√59 /30^2)cost+(2301√59 /30^2)∫cos^2tdcost=-(2301√59 /30^2)cost+(2301√59 /3*30^2)cos^3t+c

=-(2301/30^2)√(59-30x^2)+13*(1/30^2)√(59-30x^2)^3+c.

[图]

编辑于2024-11-17，内容仅供参考并受版权保护

经验备注

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