[视频]【抽象代数】虚二次Euclid域

方法/步骤

要验证Q[sqrt(d)]是或者不是Euclid域，只需要验证，域里面元素的范数是不是Euclid函数，也就是对任意的元素r，是否存在域里面的代数整数t，使得r-t的范数小于1。

当d模4余2或3的时候，代数整数t的m和n都是整数，那么r-t的范数，就可以写为：

(u-m)^2-d(v-n)^2

当u=v=1/2的时候，r-t的范数将不小于(1-d)/4。

为了保证对任意u和v，不等式N(r-t)<1都有m和n存在，必须有：

(1-d)/4<1,

因此，d>-3。

此时，d只能等于负1或负2。

容易验证，当d等于负1或负2时，m和n是存在的.

实际上，m和n只要分别等于u和v的整数部分就可以。

当d模4余1的时候，代数整数t变复杂了，因而对应的r-t的范数也变复杂了。

当u=v=1/4的时候，r-t的范数应该大于(1-d)/16。

因此，d可以取值-3，-7，-11。

当d取值-3，-7，-11的时候，m和n是存在的，只需要n是2v的整数部分、m是u-n/2的整数部分。

编辑于2019-01-04，内容仅供参考并受版权保护

经验备注

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